** Intégrales et suites (2)

Soit \((I_n)\) la suite définie, pour tout entier naturel \(n\) , par \(\displaystyle I_n=\int_{1}^{\text e} x(\ln(x))^n \text{ d}x\) .

1. Calculer \(I_0\) puis \(I_1\) .

2. À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation suivante : pour tout entier naturel \(n\) , on a  \(2I_{n+1}+(n+1)I_n=\text e^{2}\) . En déduire \(I_2\) .

2. a. Démontrer que  \((I_n)\)  est décroissante.
    b. En déduire l'encadrement suivant : pour tout entier naturel \(n\) , on a \(\dfrac{\text e^2}{n+3}\leqslant I_n\leqslant \dfrac{\text e^2}{n+2}\) .
    c. Déterminer alors \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} I_n\) et \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} nI_n\) .
    d. Donner un entie r naturel \(p\) tel que \(I_p\) est inférieur à \(10^{-2}\) .